Фамилия Запросов — редкий случай в русской ономастике, где прозвище образовано не от внешности, ремесла или характера, а от социального действия. Её основа — слово «запрос», которое в старину означало не только просьбу, но и требование, вызов, а в юридическом обиходе — обращение в суд или к начальству. Носитель такой фамилии мог быть человеком настойчивым, склонным к тяжбам, либо, напротив, тем, к кому часто обращались за советом или помощью. В некоторых говорах «запрос» имел ироничный оттенок — «запросный» означал заносчивого, любящего задавать неудобные вопросы.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов указывает на принадлежность (чей сын? — Запросов), то есть «сын Запроса». В основе лежит некалендарное прозвище Запрос, которое фиксировалось в документах XV–XVII веков. Например, в актах Московского государства встречаются «Запрос Микитин сын» или «Запроско» — уменьшительная форма. Фамилия могла возникнуть в среде посадских людей, крестьян или служилых, где прозвища давали по поведению или занятию.

Географически фамилия редкая и рассредоточенная. По данным современных переписей, Запросовы встречаются в Вологодской, Кировской и Костромской областях, изредка — на Урале. В южных регионах России она почти не фиксируется, что подтверждает её севернорусское происхождение: в новгородских и вятских землях прозвища на -ос/-оз были более характерны.

Сложность в том, что «запрос» мог быть и термином из сферы торговли или ремесла: «запросом» называли предварительную цену, которую продавец заламывал сверх реальной стоимости. Прозвище Запрос мог получить либо хитрый торговец, либо, наоборот, человек, который никогда не торговался и платил «с первого запроса». Однако первая версия — о юридическом или бытовом обороте — выглядит убедительнее: в письменных источниках прозвища от глаголов «запросить», «запрашивать» чаще связаны с судебными исками, а не с базарным торгом.

По сословному составу Запросовы, скорее всего, были крестьянами или мещанами — дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» и других родословных сборниках нет. Фамилия не получила широкого распространения, поэтому её носители — потомки одного или нескольких локальных родов, что делает генеалогический поиск более определённым, но требует работы с региональными архивами.