Фамилия Затягов — редкий пример, где прозвище образовано не от профессии или внешности, а от действия. В основе лежит глагол «затягивать» или «затянуть». Чаще всего так называли человека, который медлит, тянет с решением, «затягивает» дело. В говорах могло быть и конкретное значение: «затяг» — ленивый, неповоротливый работник. Но есть и другая, более конкретная версия.

В северных и сибирских диалектах «затягом» называли бурлака или лошадь, которая тянет лямку. Прозвище мог получить грузчик, бурлак или вообще любой работник на тяжелой тягловой работе — тот, кто «тянет лямку». В некоторых областях «затяг» означало и «упряжка», и «вереница подвод». Так что предок мог быть извозчиком или хозяином обоза.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище Затяг + суффикс -ов, дающий значение «сын Затяга» или «из семьи Затяга». Суффикс указывает на принадлежность, типичен для центральных и северных областей России. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, появилась не раньше XVII века, когда прозвища начали закрепляться как наследственные.

Встречается фамилия редко, преимущественно в центральной России и Поволжье. В словарях она не описана, но однокоренные «Затягин» и «Затяжкин» фиксируются. Сравнение с ними помогает: «Затяжкин» явно от «затяжка» (задержка, промедление), а «Затягов» — от «затяг» (человек или процесс). Так что основная версия — прозвище медлительного человека, но с возможным оттенком профессии тяжелого труда.