Фамилия Затягин образована от прозвища Затяга, которое, скорее всего, связано с глаголом «затягивать». В русских говорах слово «затяга» имело несколько значений, и чтобы понять, кем был предок, нужно выбрать самое правдоподобное.

Самая вероятная версия — профессиональная. Затягой называли работника, который стягивал или затягивал что-либо: например, верёвки на возу с сеном, ремни в упряжи или канаты на судне. В крестьянском и ремесленном быту такое прозвище мог получить человек, занятый погрузкой, перевозкой или плотницкими работами — словом, любой, кто постоянно что-то «затягивал» руками или инструментом. Менее распространённое, но тоже возможное значение — «медлительный, вялый человек, который тянет время». Однако в основе фамилий чаще лежит не черта характера, а конкретное занятие или внешний признак, поэтому ремесленная версия убедительнее.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Затягин — «сын Затяги», то есть потомок человека по прозвищу Затяга. По модели образования это типичная русская фамилия, распространённая в северных и центральных губерниях, где суффикс -ин преобладает над -ов.

Стоит заметить, что фамилия редкая. Встречается в основном в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает связь с промыслами: бурлачеством, сплавом леса или извозом. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Затягин не упоминается как отдельная статья, но разбор гнезда «тянуть» даёт основания считать её именно прозвищной, а не топонимической или отцерковной. Никаких следов дворянского происхождения или связи с географическими названиями у неё нет — перед нами чисто народная, трудовая фамилия, в которой слышен голос русского Севера с его реками, плотами и лошадиными упряжками.