Фамилия Заугрина — женская форма, мужской вариант Заугрин. Она образована по простой и прозрачной модели: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Заугрин — это «чей-то сын» или «чей-то человек». Основа — прозвище или нецерковное имя Заугра. Разберём, что оно могло значить.

Самая прямая версия отсылает к диалектному слову «заугра» — так в некоторых северных и сибирских говорах называли зарю, закат или утренний свет. В этом случае прозвище Заугра могли дать человеку с румяным лицом, либо тому, кто часто вставал на заре, либо, напротив, кто работал дотемна. В ономастике известны фамилии, образованные от явлений природы (Заря, Зорькин, Вечеров), так что Заугрин вписывается в этот ряд.

Есть и менее очевидная версия: в некоторых говорах «заугра» — это заливной луг или низина у реки, которую заливает водой («заливает» → «заугра» через чередование согласных). Тогда прозвище могло указывать на место жительства — человек, живший у такого луга. Подобные топонимические прозвища (Заречин, Заозёров) в русских фамилиях очень часты, и версия с лугом не слабее «зарной».

Суффикс -ин, а не -ов, намекает на то, что основа оканчивалась на -а, — это характерно для северорусских и сибирских фамилий, где прозвища на -а были распространены. Встречаемость фамилии Заугрин (и Заугрина) в современных базах невысока, но заметна в Пермском крае и Кировской области — регионах, где сохранились старые северные говоры. Значит, предки носителей фамилии скорее всего были крестьянами или посадскими людьми из тех мест, а прозвище Заугра дали либо по характеру, либо по усадьбе на заливном лугу. Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретной семье сложно, но обе версии — и «заря», и «заливной луг» — вполне рабочие и соответствуют словообразовательной норме.