Фамилия Заварзина образована от прозвища Заварза. В диалектах «заварза» означало «неаккуратный, небрежный человек». Однако в вологодских говорах бытовал глагол «заварзить» — «проказничать». В таком случае Заварзой могли называть шута или баловника. Обе версии правдоподобны: прозвища часто давали по внешним чертам или по поведению, и здесь мы видим две возможные характеристики — неряшливость или озорство.

Фамилия закрепилась в документах XVII века. С. Б. Веселовский в своих работах упоминает Филю Заварзу, крестьянина 1624 года из Курмыша, и Михея Заварзина, записанного в Москве в 1638 году. Позже, в 1691 году, встречается Василий Заварзин, подьячий — это уже представитель приказного сословия. Такое разнообразие социальных статусов показывает, что фамилия не была закреплена за одним слоем населения.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Заварзина — «дочь (или жена) Заварзы». В русской традиции женские фамилии на -ин образуются от мужских основ того же типа, поэтому Заварзина — это вариант фамилии Заварзин, а не отдельная этимологическая линия. Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, где диалектная лексика сохраняла слово «заварза».

Основа фамилии редкая: она не связана с распространёнными ремёслами или именами, а целиком уходит в народную прозвищную культуру. Это делает её ценным памятником бытовой лексики XVII века.