Фамилия Заварзины образована от прозвища Заварза. В русских говорах, особенно вологодских, слово «заварза» означало человека неаккуратного, небрежного. Но есть и другая версия: глагол «заварзить» в тех же местах значил «проказничать, шалить». Тогда Заварзой могли прозвать шута или баловника. Какая из трактовок вернее — сказать трудно, обе имеют право на жизнь.

Историк С. Б. Веселовский в своих работах приводит ранние упоминания: Филя Заварза, крестьянин, 1624 год, Курмыш; Михей Заварзин, 1638 год, Москва; Василий Заварзин, подьячий, 1691 год. Эти записи показывают, что прозвище бытовало в разных слоях общества — от крестьян до приказных людей.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Заварзин — «сын Заварзы» или «человек из рода Заварзы». Такая модель образования — одна из самых древних в русской ономастике, она фиксирует прямое родство по отцу или главе семьи. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от имен или профессий на твердый согласный, вариант на -ин характерен для основ на -а/-я, что и дало форму Заварзин, а не Заварзов.

Встречается фамилия преимущественно в северных и центральных регионах России, что подтверждает ее диалектную природу. Однокоренных фамилий мало — это говорит о локальном бытовании прозвища. Заварзины — не просто носители фамилии, а хранители редкого слова, которое почти исчезло из живой речи.