Фамилия Заверяхина — женская форма фамилии Заверяхин, и её разбор стоит начать с неожиданной детали: в отличие от большинства фамилий на -ин, образованных от имён или профессий на -а/-я (например, Ильин от Илья, Плотников от плотник), основа здесь — глагольная, причём с яркой диалектной окраской. Корень «заверях-» восходит к глаголу «заверять» в старом, ныне почти утраченном значении — не просто «подтверждать подписью», а «заверять, уверять, божиться, клясться». В северных и сибирских говорах XIX века «заверяха» — человек, который любит давать пустые обещания, много и громко клянётся, но редко выполняет сказанное. Прозвище Заверяха давали болтуну, хвастуну или тому, кто постоянно оправдывался и уверял в своей правоте.

Словообразовательная модель проста: прозвище Заверяха → суффикс -ин, обозначающий принадлежность («чей?» — сын Заверяхи), → Заверяхин. Фамилия эта — типично русская, патронимическая по происхождению, но не от крестильного имени, а от мирского прозвища. В дореволюционных переписях фамилия встречается спорадически, без привязки к одному сословию: Заверяхины могли быть и крестьянами, и мещанами, но чаще всего фиксируются в южнорусских областях — Курской, Орловской, Воронежской губерниях. Это указывает, что прозвище бытовало именно в чернозёмной полосе, где диалектное слово «заверяха» было в ходу.

Интересно, что в современном русском языке глагол «заверять» утратил бытовой оттенок пустых клятв и закрепился в официально-деловом стиле. Поэтому носитель фамилии сегодня может ошибочно связать её с нотариатом или документами, но исторический смысл иной — он про характер, а не про профессию. Ещё одна тонкость: написание через «е» (Заверяха, а не Заверяха) не случайно — в некоторых говорах ударение падало на второй слог: заверя́ха, что и закрепилось в фамилии. Встречаются однокоренные варианты Заверяев, Заверягин, но они образованы от других суффиксальных форм того же корня.

Если сравнивать с более частыми фамилиями вроде Веригин или Обманов, то Заверяхин стоит особняком: она не про ложь, а про избыточную, почти театральную убедительность в речи. Предок носителя фамилии, скорее всего, был человеком говорливым, горячим в споре, но не злонамеренным — его прозвали за манеру доказывать, а не за обман.