Фамилия Заверяев — редкий пример, когда прозвище образовано от глагола, а не от имени или названия профессии напрямую. В её основе лежит прозвище Заверяй, которое происходит от глагола «заверять» — то есть «удостоверять, обнадеживать, ручаться». Такая модель (глагольная основа + суффикс -яй) в русских фамилиях встречается нечасто, но она очень выразительна: она сразу рисует характер человека или его занятие.

Заверяем могли назвать человека с даром убеждения — того, кто умел легко склонить собеседника на свою сторону. Но есть и более конкретная версия: на Руси «заверителем» или «поручителем» называли человека, который выступал ответчиком в чужом деле, ручался за кого-то словом или имуществом. Это была социально значимая роль, особенно в судебных и торговых спорах. Поэтому прозвище Заверяй — скорее «профессиональное», указывающее на род деятельности, чем на черту характера.

Суффикс -ев в фамилии (Заверя-ев) присоединяется к основе, оканчивающейся на гласный, что типично для фамилий, образованных от прозвищ на -яй. В этом Заверяев схож с фамилиями вроде Болтаев (от «болтай») или Ломаев (от «ломай»), но в отличие от них его основа несёт не бытовую или ироничную, а деловую, почти юридическую нагрузку.

Фамилия редкая, не массовая. В исторических документах и словарях она почти не зафиксирована, что говорит о её локальном бытовании — скорее всего, в центральных или южнорусских губерниях. Встретить её можно в единичных записях XIX — начала XX века. Значение фамилии прозрачно даже без специальных знаний: предок был человеком, на чьё слово полагались, — поручителем, свидетелем или просто убедительным собеседником.