Фамилия Заверяевы — одна из тех, где за основой стоит не имя, а прозвище, причём с двумя разными смысловыми ветками. Разберём их по порядку.

Первый и самый прямой вариант: прозвище Заверяй дали человеку, который умел убеждать. Глагол «заверять» в старом русском языке означал «удостоверять, обнадеживать, ручаться». Так могли назвать того, кто легко склонял собеседника на свою сторону, или поручителя, который отвечал за другого человека словом и делом. В этом случае фамилия — отголосок социальной роли: заверитель, свидетель на суде или в торговой сделке.

Вторая версия — от диалектного глагола «завереть». Он не имеет отношения к уговорам, а значит «заплести (лапоть, кошелку), залатать, починить». Если так, то Заверяй — прозвище мастера, который занимался починкой обуви, плетением лаптей или корзин. Это типичное «профессиональное» именование, каких много среди русских фамилий: по ремеслу предка.

Фамилия образована по стандартной модели: прозвище на -яй (Заверяй) плюс суффикс принадлежности -ев. Форма Заверяевы — множественное число, указывающее на род. Такие фамилии на -яев, -еев встречаются нечасто, и это уже делает её заметной на фоне массовых -ов и -ин.

Сложно сказать, где именно возникла фамилия. В документах она не мелькает часто, и это нормально для прозвищных фамилий, не привязанных к дворянским родам. Скорее всего, предки Заверяевых — крестьяне или посадские люди из северных или центральных губерний, где диалектное слово «завереть» было в ходу. Если же основа — «заверять», то географическая привязка теряется: такой глагол был общерусским.

Однокоренные фамилии — Заверин, Заверихин, Заверяев — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Заверяевы стоят особняком из-за редкого форманта -яев, который сразу выдаёт прозвищное происхождение.