Фамилия Завертяева — притяжательное прилагательное с типичным русским суффиксом -ев, указывающим на принадлежность: «чей?» — Завертяев, то есть сын или потомок Завертяя. Основа здесь — прозвище Завертяй. В русских говорах «завертяй» — человек верткий, непоседливый, тот, кто «завертывается», то есть суетится, вертится, возможно, непостоянный в делах или решениях. У Даля есть глагол «завертываться» в значении «крутиться, суетиться», и прозвище могло закрепиться за бойким, юрким человеком или, напротив, за тем, кто любил «завертеть дело» — запутать, сбить с толку.

Вторая, менее очевидная версия, отсылает к профессиональной среде. «Завертяй» могло быть прозвищем мельника или работника, который «завертывал» — закручивал жернова, мешал зерно. Но это предположение уступает первому, бытовому объяснению: прозвища по характеру встречались гораздо чаще, чем по редким технологическим операциям.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных переписях она встречается в основном в северных и центральных губерниях — Вятской, Пермской, Костромской. Это не случайно: суффикс -яй характерен для севернорусских прозвищных форм (сравните: «гуляй», «бродяй», «ломотяй»). Носители фамилии, скорее всего, были государственными крестьянами или посадскими людьми — в среде дворянства такие «говорящие» фамилии не приживались, их заменяли на более благообразные.

Интересна и форма женского варианта — Завертяева. В отличие от многих фамилий на -ин, где женская форма образуется через -а (Птицын — Птицына), здесь окончание -а стоит уже в мужском роде, а женское — лишь согласование по роду: Завертяев — Завертяева. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в форме прилагательного, а не существительного, что типично для фамилий на -ев/-ов.

Однокоренных фамилий немного: Завертяев, Завертяйкин, Завертнев. Все они редки и восходят к одному прозвищному гнезду. Если искать прямую аналогию, то фамилия Завертяева стоит в одном ряду с Вертишев, Крутиков — все они описывают человека через движение, но в случае с «завертяем» оттенок более конкретный: не просто быстрый, а именно тот, кто «завертывается» — вьется, как вьюн.