Фамилия Завиртяев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ев, который указывает на русскую модель образования отчества или прозвища. Основа здесь — «Завиртяй», и именно в ней скрыта главная загадка.

Скорее всего, в основе лежит глагол «завиртеть» или «завертеть» в диалектном произношении. В русских говорах слово «завиртяй» могло означать человека непоседливого, суетливого, того, кто «всё вертится» — либо в прямом смысле (неусидчивый работник, егоза), либо в переносном (хитрец, изворотливый человек). Фамилии, образованные от подобных прозвищ, типичны для крестьянской среды: прозвище давали по заметной черте характера или поведения, а затем оно закреплялось за потомками.

Версия с диалектным «завирнуть» (завернуть, закрутить) тоже возможна, но менее вероятна: тогда прозвище звучало бы как «Завирня» или «Завирка». Форма на -яй (сравните: Вертяй, Шумяй, Гуляй) характерна именно для прозвищ, описывающих действие или свойство человека. Таким образом, Завиртяев — это «сын того, кого звали Завиртяем», то есть вертлявого или суетливого предка.

Географически фамилия привязана к центральным и южнорусским областям, где встречаются однокоренные слова. Встречается она редко, что говорит о локальном бытовании прозвища — возможно, в одной или нескольких соседних деревнях. В дворянские или купеческие роды такая фамилия не попала: её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, а само прозвище — бытовым, а не официальным.

В написании стоит обратить внимание на букву «я»: Завиртяев, а не Завиртеев. Это указывает на мягкое произношение основы («Завирт-яй»), что подтверждает связь с глаголом «вертеть» (ср.: верт-ячий, верт-яга). Ошибка в написании через «е» (Завиртеев) исказила бы смысл, но в документах такое встречается — из-за неграмотности писарей или при переписи.