Фамилия Завиров образована от прозвища или нецерковного имени Завир. Корень здесь — «вир», означающий в южнорусских и украинских говорах водоворот, омут или глубокое место в реке. Приставка «за-» указывает на положение за таким местом или на признак, связанный с ним. Получается, что Завир — это человек, который живёт «за виром», то есть за омутом, или сам подобен омуту: скрытный, замкнутый, таящий что-то в себе. Модель образования типовая для русских фамилий: суффикс -ов добавляется к основе, указывая на принадлежность — «сын Завира» или «из семьи Завира».

Географически фамилия тяготеет к южным областям России и востоку Украины, где слово «вир» активно в диалектах. Встречается также в Поволжье, куда переселенцы принесли её в XVII–XVIII веках. Встречаются варианты написания с одной «р» — Завиров, хотя корневая «р» двойная по происхождению (вир — за виром), но в фамилиях часто упрощается.

Есть и версия, связывающая основу с тюркским «завир» — «внимательный, зоркий», но она менее вероятна. Во-первых, суффикс -ов указывает на славянскую модель, а не на прямое заимствование прозвища. Во-вторых, в тюркских языках слово «завир» не имеет широкого распространения как личное имя. Поэтому основная гипотеза — славянская, от географического термина.

Фамилия не относится к дворянским или старым боярским родам. Её носители — скорее крестьяне или казаки, получившие прозвище по месту жительства. В документах XVII века встречаются упоминания служилых людей и казаков с такой фамилией на Дону и в Слобожанщине.