Фамилия Завираев образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей — с суффиксом -ев, который крепится к основе, оканчивающейся на согласный. Основа здесь — «Завирай». Это не имя, а прозвище, и его значение лежит на поверхности, хотя и не всегда очевидно.

Прозвище Завирай происходит от глагола «завираться» — то есть говорить неправду, врать, привирать. В старину такое прозвище могли дать человеку за склонность к хвастовству, сочинительству или просто за привычку приукрашивать события. Важно понимать, что в крестьянской и ремесленной среде прозвища были не столько оскорбительными, сколько описательными: Завираем могли назвать краснобая, сказочника или того, кто любил «заливать» за столом. Ничего криминального в этом не было, скорее бытовая характеристика.

Суффикс -ай в прозвище Завирай — типичный для русских именований, образованных от глаголов. Он встречается в таких прозвищах, как Болтай, Кидай, Ломай. Эти прозвища часто давались людям по их действиям или манере поведения. В отличие от фамилий на -ин (от имен на -а/-я), здесь мы имеем дело именно с глагольной основой.

Встречается фамилия Завираев неравномерно. По данным статистики, она заметно чаще попадается в Воронежской и Ростовской областях, а также в некоторых районах Сибири. Это может указывать на то, что фамилия возникла в южнорусских говорах, где слово «завираться» было особенно употребительно, а затем распространилась с переселенцами на восток.

Известных носителей фамилии, оставивших след в большой истории, нет, что типично для фамилий, возникших из прозвищ в среде крестьян или мещан. Завираевы не принадлежали к дворянским родам, и их фамилия не попала в «Бархатную книгу» или другие генеалогические справочники. Это не делает её менее интересной: она — живое свидетельство того, как меткое народное слово закреплялось за целым родом.