Фамилия Завирова — женская форма от Завиров, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Завир. Основа здесь — глагол «завираться» (лгать, говорить неправду), а суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Завира». В русских говорах слово «завира» означало лгуна, хвастуна или болтуна. Человек, получивший такое прозвище, мог быть не злостным обманщиком, а скорее выдумщиком, любителем приукрасить или рассказать небылицу.

Фамилия относится к древнему пласту русских «говорящих» прозвищ. Подобные именования по отрицательным качествам давали не в осуждение, а как оберег или по иронии судьбы. Иногда «Завиром» могли назвать человека, который однажды сильно приврал, и это прилипло к нему на всю жизнь. Встречается фамилия в основном в южнорусских областях и в Поволжье, но из-за своей выразительности она редка — носителей немного.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: основа глагола (завира-ть) + суффикс -ов. В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я), здесь сработал принцип отчества от существительного мужского рода на твёрдый согласный. Других версий происхождения, заслуживающих внимания, нет — корень «вир» (как в слове «виртуоз» или топониме Вир) не даёт убедительной семантики, а тюркские параллели не прослеживаются.

Если вы носите эту фамилию, ваш предок, скорее всего, был человеком с характером — незлым, но острым на язык, может быть, балагуром или сказочником. В крестьянской среде такие прозвища не считались позорными: ценность имела не буквальная правда, а умение увлечь рассказом.