Фамилия Завертяев — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано не с характером или внешностью, а с конкретным действием, причём довольно грубым. В её основе лежит глагол «завертеть» в значении «закрутить, скрутить», но не в бытовом, а в криминально-бытовом смысле. В русских говорах, особенно северных и сибирских, «завертеть» означало «задушить, удавить» или «свернуть шею» — например, птице. Прозвище Завертяй могли дать человеку, который промышлял убоем скота или птицы, либо, что мрачнее, тому, кто был скор на расправу — душегубу. Вторая, более мирная версия, отсылает к ремеслу: «завертеть» могло означать и «скрутить верёвку», так что прозвище мог получить канатчик или тот, кто вил жгуты.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ев присоединился к основе «Завертяй». Формально это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?» — сын Завертяя. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий согласный (в данном случае на «й»). В документах фамилия могла писаться с одной «е» — Завертяев, но в быту произносилась с ударением на второй слог: Завертя́ев.

Географически фамилия редкая и имеет очаговое распространение. По данным современных справочников, наиболее часто она встречается в Пермском крае и Кировской области — регионах, где были сильны старообрядческие традиции и где фамилии часто фиксировали прозвища, а не церковные имена. Встречается также в Удмуртии, что может говорить о миграции крестьян в XIX веке. Сословно, скорее всего, это фамилия бывших государственных или помещичьих крестьян, так как в дворянских родословных книгах она не значится.

Интересно, что фамилия Завертяев стоит в одном ряду с такими однокоренными и не менее редкими, как Завертнев, Заверткин, Завертайлов. Все они образованы от одного корня с разными суффиксами, но Завертяев — самая «прозвищная» по форме, так как суффикс -яй в русском языке часто использовался именно для обозначения действующего лица по поступку (ср. Бродяга, Гуляй, Ломай). Поэтому, несмотря на мрачную этимологию, фамилия — живое свидетельство того, как в прошлом человека могли назвать по единственному, самому яркому (пусть и не самому приятному) занятию.