Фамилия Завертаев восходит к прозвищу Завертай. Возможно, в его основе лежит глагол «завертеть» - «закрутить». В этом случае Завертаем прозвали человека по роду его занятий. Однако более вероятно, что это оно образовано из нарицательного «заверняй, завертай» - «буран, метель». Таким образом, прозвище Завертай могли дать ребенку, который родился в ненастную погоду. Однако оно могло указывать и на характер предка: непоседливость, резвость. Кроме того, в некоторых говорах Завертаем называли гордого человека. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Завертай, со временем получил фамилию Завертаев.