Фамилия Завертаев — классический пример «прозвищной» русской фамилии, образованной по модели «прозвище + суффикс -ев». Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или на -й: Завертай → Завертаев. Такая модель была особенно распространена в центральных и северных говорах.

В основе фамилии лежит прозвище Завертай. Самый надёжный ключ к его смыслу — диалектное слово «заверняй» или «завертай», которое в ряде регионов (особенно в Сибири и на Урале) означало «буран», «метель», «вьюга». Отсюда первая, и самая конкретная, версия: прозвище могли дать ребёнку, родившемуся в сильную непогоду, когда «завернуло», то есть закрутило метель. Такие «погодные» имена (Мороз, Вьюга, Завертай) были в ходу у русских крестьян до XVII века, пока церковь не начала активно с ними бороться.

Глагольная основа «завертеть» (закрутить, замотать) даёт второе возможное значение — указание на характер. Завертаем в народе могли прозвать человека непоседливого, вертлявого, резвого. В некоторых говорах это слово приобретало и переносный смысл: «завертай» — гордый, заносчивый человек, который «задирает нос». Так что прозвище могло характеризовать и поведение, и внутренний склад.

С точки зрения социального контекста, фамилия Завертаев, скорее всего, относится к крестьянской или посадской среде: прозвища от глаголов в повелительном наклонении (Тяни, Хватай, Завертай) — характерная черта именно простонародного именования. Дворянские фамилии с таким корнем не фиксируются.

Таким образом, у фамилии два равноправных объяснения: «метельное» (по обстоятельствам рождения) и «характерное» (по поведению предка). Первое — более узкое и конкретное, второе — более широкое и типичное для русских прозвищ. Выбор между ними зависит от того, что важнее: погода в день крещения или характер взрослого человека.