Фамилия Завертан — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, минуя типичные суффиксы -ов или -ин. Корень здесь — глагол «завертеть» или «завернуть». В старину так могли назвать человека по двум основным причинам.

Первая, самая вероятная версия — ремесленная. «Завертаном» на юге России и Украине называли того, кто занимался заворачиванием, упаковкой товара: торговца, лавочника или работника на ярмарке. В говорах встречалось слово «завертай» — продавец в мелочной лавке, который заворачивал покупателям крупу, сахар и прочую бакалею в кулёк. Фамилия могла закрепиться за человеком, чья профессия была на виду и дала ему прозвище.

Вторая версия — поведенческая. Прозвище Завертан могли дать человеку непостоянному, «вертлявому», который легко менял решения, или, напротив, тому, кто любил «завернуть» — то есть сказать что-то хитрое, витиеватое. В некоторых диалектах «завертень» означало «сверток» или «узел», что тоже могло стать прозвищем для сутулого или плотно сбитого человека.

Словообразовательная модель необычна: фамилия оформлена по типу украинских и белорусских прозвищных фамилий на -ан (ср. Гулян, Скидан). В русской традиции такое окончание встречается реже, что указывает на возможное западное или южное происхождение рода. Если бы фамилия была чисто русской, она скорее звучала бы как Завертеев или Заверткин.

Географически фамилия тяготеет к западу: её можно встретить среди запорожских казаков и в реестрах Черниговской губернии. В центральной России она почти не встречалась — там предпочитали форму Заверткин. Так что предки носителя фамилии Завертан, скорее всего, жили на землях современной Украины или Белоруссии и занимались торговлей или ремеслом, связанным с упаковкой и отпуском товара.