Фамилия Заверняева образована от прозвища Заверняй. В северных и сибирских говорах так называли декабрь, а также — вьюгу, буран, метель. Поэтому Заверняем могли прозвать ребёнка, родившегося в морозную зимнюю пору. Но это прозвище могло относиться и ко взрослому человеку — указывать на его характер: грубость, холодность, даже жестокость. В этом случае прозвище становилось не календарным, а характеризующим.

Словообразовательная модель проста: основа «заверняй» + типичный русский суффикс -ев-, указывающий на принадлежность («чей?» — Заверняев). Женская форма Заверняева — это вариант по правилам русского рода. Встречается фамилия преимущественно в центральных областях России и на Урале, что совпадает с ареалом диалектного слова «заверняй» (вьюга, метель). Сравните с фамилиями Заверяев, Заверуха — они образованы от других диалектных гнёзд, но тоже через прозвища.

Если опираться на «Словарь русских фамилий» и работы В. А. Никонова, то версия с зимним прозвищем — основная. Альтернатива (связь с глаголом «завернуть», «заворачивать») маловероятна: для такого значения в русских говорах есть другие основы (Заворотный, Заворуев). Так что потомки человека по прозвищу Заверняй со временем получили фамилию Заверняева — и она закрепилась.