Фамилия Завернина — женская форма от Завернин, и её основа — прозвище Заверня. В северных и сибирских говорах так называли декабрь, а также любую вьюгу, буран или метель. Скорее всего, Заверней прозвали ребёнка, родившегося в студёную зимнюю пору — по календарю или погоде. Но прозвище могло относиться и к взрослому: «заверня» означало не только непогоду, но и переносно — крутой, резкий, холодный нрав. Так что предок мог получить это имя за грубость или суровость.

Словообразовательная модель простая: суффикс -ин указывает на принадлежность — «чей?» — «Завернин» значит «сын Заверни». В русских фамилиях -ин, как и -ов, типичен для отчеств и прозвищных фамилий: Завернин стоит в одном ряду с Морозовым, Студеникиным, Вьюгиным. Географически фамилия встречается преимущественно в северных и центральных областях России, особенно в Архангельской, Вологодской и Кировской — там, где говор сохранил слово «заверня».

Ударение в фамилии падает на второй слог: Заве́рнина. Встречается и вариант Заверни́на — с ударением на окончание, но он реже и, возможно, связан с иным диалектным произношением. Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Завертайло, Заверткин, — то Завернина выделяется именно природно-погодной основой, а не действием или предметом.