Фамилия Заверняй — редкий пример фамилии, образованной от глагольной формы в повелительном наклонении. В русской ономастике такие фамилии называют «императивными»: они происходят от прозвищ, которые давали человеку по его привычной команде или действию. Основа здесь — глагол «завернуть» в значении «свернуть, повернуть, укутать». Прозвище Заверняй могло закрепиться за тем, кто часто командовал другим: «Заверняй!» — то есть «поворачивай, сворачивай». Такие прозвища обычно получали возчики, извозчики или люди, указывавшие путь, но не исключён и переносный смысл — например, так могли назвать упрямого или решительного человека, который не менял решения («завернул» своё слово).

Словообразовательная модель фамилии нестандартна. Суффикс -яй типичен для форм повелительного наклонения (сравните: «Не тронь меня», «Скажи-ка»), но в фамилиях он встречается редко. Чаще такие прозвища становились фамилиями без дополнительных суффиксов — Заверняй, а не Заверняев. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в форме чистого прозвища, без патронимического оформления, что характерно для украинской и южнорусской традиции. В центральных и северных областях России прозвище скорее получило бы суффикс -ов, образовав фамилию Заверняев. Сохранение исконной формы говорит о том, что носители фамилии могли происходить из регионов, где императивные фамилии были обычны: Украина, Белгородчина, Курщина, Дон.

Географически фамилия Заверняй встречается редко, но не единично. По данным современных справочников, она фиксируется в Беларуси, на востоке Украины и в южных областях России. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные образования упомянуты в разделе о фамилиях из прозвищ-команд, но сам корень «заверняй» специально не разбирается. Встречается и вариант написания с двумя «н» — Заверняй, но это, скорее, опечатка или следствие диалектного произношения.

Социальный контекст у фамилии простой: её носители, вероятно, были из крестьянской или мещанской среды, где прозвища давали по бытовым признакам. Никакого дворянского или церковного происхождения у Заверняя нет — это фамилия, родившаяся в разговорной речи, на дороге или в поле. Если ваш предок носил такую фамилию, он мог быть извозчиком, погонщиком или просто человеком с властным характером, который привык указывать другим, куда идти.