Фамилия Заверский — одна из тех, что сразу указывает на географию предка. Её основа — топоним, то есть название места. Чаще всего это населённый пункт с корнем «завер-»: например, деревня Заверье, Заверская, Заверы. Такие названия встречаются в Беларуси, на западе России и в Польше. Человек, переехавший оттуда, получал прозвище «Заверский» — «тот, кто из Заверья». Суффикс -ский в восточнославянских фамилиях традиционно указывал на принадлежность к местности или дворянскому роду, но в данном случае он скорее оформил прозвище в фамилию по типу «откуда родом».

Корень «завер-» можно разобрать двояко. Первый вариант — от глагола «завереть» в значении «закрыть, запереть» (ср. «завернуть»). Тогда Заверье могло быть глухим, отгороженным местом: лесная заимка, хутор за рекой или за болотом. Второй вариант — от слова «вера»: «заверье» как место за верой, то есть за церковью или за религиозной общиной. В польском языке есть слово «zawierzyć» — «доверить», и топоним Zawiercie (город в Польше) имеет схожую этимологию. Однако для фамилии Заверский первая версия — с географической привязкой к закрытому или отдалённому участку — выглядит правдоподобнее: такие названия давали по природным границам.

Встречается и редкая версия — от прозвища Завера. В древнерусских говорах «завера» могло означать «спорщик, сварливый человек» (от «завереть» — «упрямиться»). Тогда Заверский — потомок человека с таким характером. Но эта гипотеза слабее: суффикс -ский редко крепился к личным прозвищам в крестьянской среде, он более характерен для «географических» фамилий.

Фамилия немногочисленна. Её носители встречаются в основном в Беларуси (особенно в Гродненской и Брестской областях) и в западных областях России — Брянской, Смоленской. В Польше есть фамилия Zawierski, которая может быть как самостоятельной, так и вариантом одного корня. В старых метриках XIX века Заверские чаще записаны как крестьяне или мещане, что тоже говорит в пользу «топонимической» версии: фамилия закрепилась за выходцами из конкретной деревни, а не за дворянами, которые получали -ский по поместью.

Однокоренные фамилии — Заверов, Заверин — образованы по другой модели, через суффикс принадлежности (-ов/-ин). Они могли возникнуть от того же прозвища Завера, но уже в среде, где -ский был не принят. Заверский же — пример того, как географическое название, потерявшее свою деревню на карте, продолжает жить в фамилии.