Фамилия Заверская — женская форма, образованная по той же модели, что и Заверский. В основе лежит топоним: название населённого пункта Заверье или Заверы. Таких мест в России и Беларуси несколько, и все они, как правило, указывают на расположение «за верой» — то есть за рекой Верой, за урочищем Веры, либо за каким-то межевым знаком, который в местном говоре называли «верой». Вторая, менее вероятная версия, связывает корень с диалектным «завера» — так в некоторых северных говорах называли вьюгу, метель. Прозвище Завера могли дать человеку, родившемуся в ненастную погоду или с беспокойным характером, но тогда фамилия скорее звучала бы как Заверин или Заверов.

Суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в XVII–XIX веках фамилии на -ский/-цкий закреплялись за владельцами поместий и выходцами из духовенства. Однако в крестьянской среде, особенно на западе Российской империи, такой суффикс мог появиться и у простых людей, если они переселялись из деревни Заверье — тогда фамилия просто обозначала «выходец оттуда». Наибольшая концентрация носителей встречается в Смоленской, Брянской областях и на востоке Беларуси — то есть в зоне бывшего Великого княжества Литовского, где топонимы с корнем «вер» особенно часты.

Ударение в фамилии плавающее: в центральных регионах чаще говорят Заве́рская, на юге и в Беларуси — Заверска́я. В дореволюционных метрических книгах встречается вариант с двойным «с» — Заверсская, что говорит о возможном происхождении от польского Zawierski или литовского Zaverskis. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не столько родословную дворян, сколько конкретное село с названием Заверье — именно оно, скорее всего, и дало фамилию.