Фамилия Заверова — женская форма фамилии Заверов, и её происхождение напрямую связано с мужским вариантом. Разбирать её стоит с суффикса: -ов указывает на типичную русскую модель образования от отчества или прозвища. В основе лежит слово «завер» — и вот тут начинается самое интересное, потому что у этого корня есть как минимум две равноправные версии.

Первая и самая распространённая среди ономастов (например, в работах Б. Унбегауна по русским фамилиям) связывает основу с глаголом «заверить» или «заверять» в старом значении — «поручиться, подтвердить, дать слово». Прозвище Завер могли дать человеку надёжному, тому, кто отвечал за свои слова, выступал поручителем в сделке или суде. В крестьянской среде такое прозвище было уважительным: «завер» — гарант, честный свидетель.

Вторая версия, менее очевидная, но не менее реальная, отсылает к диалектному слову «завера» или «заверюха» — так в некоторых северных и сибирских говорах называли метель, вьюгу, пургу. В этом случае прозвище Завер мог получить человек, родившийся в сильную непогоду, или же тот, кто отличался резким, «завёрнутым» характером. Сравните с фамилиями Вьюгин, Метелицын — та же образная логика.

Географически фамилия Заверов (и Заверова) встречается нечасто, но имеет заметные очаги в Поволжье и на Урале. Это косвенно подтверждает и вторую версию: именно в этих краях слово «завера» в значении «буран» было в ходу. Если ваш предок — Заверов, он с большой вероятностью был либо человеком слова (поручитель, свидетель), либо уроженцем мест, где зимы суровы, а метели — обычное дело. Выбрать одну версию как единственно верную сложно — обе имеют под собой и языковую, и бытовую основу.