Фамилия Заветовы — редкий случай, когда основа слова не уводит нас в тёмную глубину веков, а лежит почти на поверхности. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных от прозвищ, профессий или крестильных имён, здесь в основе лежит абстрактное, книжное понятие — «завет». Это сразу выделяет фамилию из ряда привычных Кузнецовых, Ивановых или Смирновых.

Словообразовательная модель проста и типична для XIX века: существительное «завет» плюс патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — Заветов). Фамилия означает «сын Завета», но не в прямом, а в переносном, прозвищном смысле. Заветом в дореволюционной России называли не только библейский договор, но и наказ, завещание, строгое обещание. Прозвище Завет могли дать человеку верному, держащему слово, либо тому, кто получил от отца или общины некое важное поручение.

Самое интересное в фамилии Заветовы — её вероятное происхождение из духовного сословия. Семинаристы и священники при выходе из училищ нередко получали «искусственные» фамилии, образованные от высоких, церковных понятий: Богословский, Воскресенский, Троицкий. Заветов — фамилия того же ряда, но более редкая. Она могла быть дана выпускнику духовной семинарии как напоминание о заветах веры или как калька с греческого «диатеке» (завет). В пользу этой версии говорит и книжный, не народный характер корня: в крестьянской среде прозвище Завет почти не встречалось, а вот в среде причётников и дьячков — вполне.

Географически фамилия тяготеет к центральным губерниям России, где было много духовных училищ. Встречается она нечасто: по данным переписей конца XIX — начала XX века, Заветовы фиксировались в основном в Тверской, Ярославской и Московской губерниях. Вариант написания с двумя «т» — Заветтов — встречается ещё реже и, скорее всего, является результатом канцелярской ошибки или переосмысления (как «заветный»).

Таким образом, если вы носите фамилию Заветовы, с высокой вероятностью ваш предок был человеком книжным — либо священником, либо семинаристом, которому при выпуске дали звучную фамилию, намекающую на верность данному слову и духовным идеалам.