Фамилия Завгаев — один из тех случаев, когда за привычным русским окончанием скрывается нерусская основа. Суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягких согласных) указывает на модель, типичную для русских фамилий, образованных от прозвищ или имен, но сама основа здесь чеченская. Это не случайность: фамилия прочно ассоциируется с чеченским тейпом (родом) и имеет четкую кавказскую привязку.

В основе лежит чеченское мужское имя Завга, которое, в свою очередь, восходит к арабскому Завкат (Зовкат) — «величие», «достоинство», «могущество». В чеченской ономастике имя Завга (иногда в форме Завги) было распространено, и от него по обычной для региона модели образовалась фамилия: Завга + русский патронимический суффикс -ев. Буквально Завгаев означает «потомок Завги» или «из рода Завги». Подобное смешение местных имен с русскими фамильными формантами — характерная черта для народов Северного Кавказа, вошедших в состав Российской империи в XIX веке.

Географически фамилия тяготеет к Чечне, особенно к равнинным и предгорным районам. Есть версия, что прозвище могло быть связано не напрямую с именем, а с чеченским словом «завга» — «крик», «зов», но это менее вероятно: личное имя как источник фамилии встречается гораздо чаще, чем абстрактное прозвище.

В отличие от многих фамилий, у которых несколько версий происхождения, здесь спор минимален. Основной корень ясен, и альтернативные гипотезы (например, связь с тюркским «завга» — «война») не имеют под собой прочной базы, так как не подтверждаются ни языковым ареалом, ни историей носителей. Фамилия недвусмысленно указывает на чеченские корни и на то, что предок носителя был человеком, которого звали Завга.