Фамилия Завиваев — редкий пример, когда основа не угадывается с ходу, хотя суффикс -ев указывает на стандартную русскую патронимическую модель: «чей?» — Завиваев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Завивай. Но что такое «завивай»?

Скорее всего, корень здесь — глагол «завивать». В русских говорах «завивай» или «завивало» называли человека, который занимался завивкой волос, то есть цирюльника или парикмахера. В XIX веке это было не столько ремесло, сколько услуга — странствующие мастера ходили по деревням и ярмаркам, завивая бороды и кудри. Прозвище Завивай могло закрепиться за таким человеком или за его сыном, который перенял дело. Есть и другая, более прозаичная версия: «завивать» на Руси означало также вить верёвки или плести что-либо — тогда прозвище могло относиться к канатчику или мастеру по плетению.

В ономастике фамилия не слишком распространена. Согласно данным переписей и архивов, Завиваевы встречаются в основном в центральных и северных регионах России — в Костромской, Вологодской, Ярославской областях. Это косвенно подтверждает связь с ремёслами: в этих местах были развиты льняное дело и плетение, а также бытовали бродячие парикмахеры. Интересно, что фамилия не имеет вариантов с суффиксом -ин, что говорит о её относительно позднем оформлении — уже после того, как модель на -ов/-ев стала доминирующей.

Словообразовательно фамилия прозрачна: основа «завива-» (от глагольного корня) плюс суффикс принадлежности -ев. Ударение, судя по типичному произношению, падает на второй слог: Завив́аев, хотя в некоторых говорах могли смещать на первый. В письменных источниках XVIII–XIX веков встречаются варианты «Завиваевъ» и изредка «Завиваевой» (для женщин), но без принципиальных расхождений.

Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью был либо ремесленником, либо человеком, получившим прозвище по действию — за привычку или занятие «завивать». В любом случае, фамилия не книжная и не искусственная, а живая, из народной среды.