Фамилия Завиваева — женская форма от Завиваев, а та, в свою очередь, образована от прозвища Завивай. В отличие от множества фамилий на -ов, которые восходят к крестильным именам (Иван — Иванов), эта фамилия принадлежит к пласту так называемых «мирских» прозвищ, и её корень — глагол «завивать». Чтобы понять, кем был первый носитель, нужно разобраться, что именно и зачем он завивал.

Самая прямая и распространённая версия — профессиональная. Завивай — это парикмахер, цирюльник, который занимался завивкой волос и бород. В допетровской Руси стрижка и укладка были делом нехитрым, но в городах, особенно с появлением моды на европейские парики при Алексее Михайловиче, ремесло завивальщика стало выделяться. Фамилия могла закрепиться за представителем этой профессии, и тогда предок носителя был человеком, который приводил в порядок чужие головы.

Вторая, не менее вероятная версия, связана с сельским хозяйством. В крестьянском быту «завивать» могло означать особый способ вязки снопов или укладки льна. Иногда так называли человека, который заплетал ленты в гривы лошадям перед ярмаркой — это считалось особым умением и приметой удачной торговли. В этом случае прозвище указывало на ловкость рук и хозяйственную сметку.

Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или «й»: Завивай — Завиваев. Это типичная модель для русских фамилий центральных и северных губерний. Географически фамилия Завиваев встречается не повсеместно: чаще всего её корни ведут в Поволжье (Нижегородская, Самарская области) и на Урал. В этих регионах в XVII–XVIII веках было много мастеровых людей, и прозвища по ремеслу давали чаще, чем в глухих деревнях.

Интересно, что в некоторых говорах «завивалой» могли назвать не только парикмахера, но и хитрого, изворотливого человека — того, кто «завивает» дело так, что не распутаешь. Однако эта версия менее убедительна: для отрицательных прозвищ обычно брали более грубые корни. Скорее всего, фамилия Завиваева — это след конкретного, полезного ремесла, которое передавалось по наследству вместе с прозвищем.