Фамилия Заволожины — редкий пример, где географическая привязка спорит с прозвищной основой, и обе версии имеют право на жизнь. Разберём их по порядку.

Первое, что бросается в глаза — суффикс -ин. Он указывает на принадлежность: «чей?» — Заволожина. В древнерусской модели так образовывали фамилии от основ, оканчивающихся на -а или -я. Значит, в основе лежит слово «Заволога» или прозвище «Заволока».

Самая прямая версия — от географического термина «заволок». В северных и центральных говорах так называли участок леса или болота, который приходилось «обволакивать» — обходить стороной, делать крюк. Человек, живший за таким местом, получал прозвище Заволока. Со временем оно закрепилось за его потомками как Заволожины. Эта версия правдоподобна тем, что фамилия могла возникнуть в местах с труднопроходимой местностью — например, в Архангельской или Вологодской губерниях, где «заволоки» реально встречались на картах.

Вторая версия — от глагола «заволочь» в значении «затянуть, затащить». Прозвище Заволока могли дать медлительному, неповоротливому человеку, который «заволакивается» — тянет время, или же, наоборот, тому, кто умел «заволочь» — затянуть дело, уладить спор. Но тут есть тонкость: в старорусском языке ударение в таком прозвище падало бы на второй слог (Заволóка), а фамилия Заволóжины звучала бы иначе. Современное произношение Заволожúны скорее тяготеет к первому варианту — от места.

Встречается также форма Заволожский — она явно указывает на происхождение от названия населённого пункта вроде Заволжье, но здесь мы видим другой суффикс. Заволожины — более архаичный, патронимический вариант, без «дворянского» оттенка. Сословно это, скорее всего, крестьянская или посадская фамилия: в документах XVII–XVIII веков такие «географические» прозвища часто давали людям, переселившимся из одной волости в другую.

Интересная деталь: фамилия очень редкая. В современных базах данных она встречается единично, в основном на севере Европейской России и в Сибири — туда переселенцы уходили как раз из тех мест, где «заволоки» были в ходу. Если ваши предки — Заволожины, то почти наверняка они выходцы из Поморья или Вятки, где слово «заволок» знали не понаслышке.