Фамилия Завозгряев — редкий образец русской фамилии, образованной не от имени или профессии, а от устойчивого разговорного выражения. Её основа — глагол «завозгрять», который в южнорусских и украинских говорах означал «запачкать, загрязнить, испачкать в грязи». Корень восходит к слову «возгря» — так в диалектах называли сопли, слизь, а также грязь на теле или одежде. Таким образом, Завозгряев — буквально «тот, кто завозгрял», то есть испачкался, перемазался. Это типичное прозвище по внешнему признаку или поведению: так могли назвать неопрятного человека, ребёнка, который вечно пачкался, или, напротив, того, кто по роду занятий постоянно возился в грязи — например, землекопа или гончара.

Модель образования фамилии — суффикс -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или шипящий. В данном случае исходное прозвище «Завозгряй» (или, возможно, «Завозгря») дало форму Завозгряев. Встречается и вариант Завозгреев — с тем же корнем, но с другим чередованием гласной. В ономастическом словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные образования от глаголов с приставкой «за-» описаны как характерные для фамилий, возникших из прозвищ, фиксирующих случайное или постоянное действие.

Географически фамилия тяготеет к югу России, а также к украинским и белорусским землям, где слово «возгря» было особенно употребительно. В документах XIX — начала XX века Завозгряевы встречаются в Курской, Воронежской и Харьковской губерниях, что подтверждает диалектную природу прозвища. Судя по этому ареалу, носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована, что указывает на её простонародное происхождение.

Интересная деталь: фамилия Завозгряев стоит в одном ряду с такими редкими «грязными» прозвищами, как Замараев, Запачкаев, Загрязкин. Но если последние образованы от общепонятных слов, то «завозгрять» — слово диалектное, почти ушедшее из живого языка. Поэтому для современного носителя фамилия звучит загадочно, хотя её смысл прозрачен для лингвиста: она буквально означает «сын того, кто испачкался».