Фамилия Завродский — редкая и неочевидная по своему корню. На слух она кажется «польской» из-за суффикса -ский, но на деле почти наверняка имеет восточнославянское происхождение, искажённое в написании.

Первый и самый вероятный вариант: фамилия происходит от прозвища Заврод или Завродя. В основе лежит диалектный глагол «завродить» — забродить, начать бродить. В русских говорах, особенно в южных и западных областях, «завродом» могли назвать человека, который начал бродить без дела, шататься, либо, наоборот, того, кто «забродил» — начал движение, пошёл в путь. Второй оттенок смысла — сельскохозяйственный: «завродить» могло означать «начать рождаться, всходить» (о хлебах). Прозвище могли дать земледельцу, у которого урожай «зародился» первым, или, напротив, ленивому работнику.

Второй вариант, менее вероятный, но возможный — связь с топонимом Завродье. Такое название могло означать «место за бродом» (за бродом через реку). Если существовала деревня Завродье, то выходец оттуда получал фамилию Завродский. Однако в современных географических справочниках такое село не фиксируется, что делает версию гипотетической.

Суффикс -ский типичен для фамилий шляхетского круга, но в народной среде он часто присваивался по месту жительства или по прозвищу, а не только дворянами. В XIX веке многие крестьяне и мещане при переписях «улучшали» свои фамилии, меняя -ов на -ский, поэтому Завродский мог быть потомком Завродова.

Точных сведений о сословной принадлежности носителей нет, но, судя по корню, фамилия скорее крестьянская или казачья, чем дворянская. Встречается она в основном на юге России и в Беларуси — в зоне, где диалектная лексика с корнем «врод-/вред-» была распространена.