Фамилия Завьялава — редкий случай, когда написание расходится с ожидаемой нормой. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Завьялова, где под влиянием акающего произношения или ошибки в документе «о» заменилось на «а». В русской ономастике такие «акающие» формы встречаются в южных и центральных регионах, где безударное «о» произносят как «а» и это иногда проникает в письменную фиксацию. Поэтому первое, что стоит проверить носителю фамилии: не писалась ли она раньше как Завьялова.

Если же это не описка, а исконная форма, то основа та же — слово «завьялый». В диалектах и старой речи «завьялый» означало «завядший», «увядший», «потерявший свежесть». Прозвище Завьял могли дать человеку с вялым, медлительным характером, болезненным видом или просто нерасторопному работнику. В некоторых говорах слово имело ироничный оттенок: так называли того, кто «завял» от безделья или усталости.

Суффикс -ав- в фамилии указывает на принадлежность: Завьялава — «жена или дочь Завьяла». Если бы фамилия была мужской, она звучала бы как Завьялов. Женская форма на -ава встречается реже, чем стандартная -ова, что добавляет фамилии региональный или исторический колорит. В документах XIX века такие окончания фиксировали у крестьян и мещан некоторых губерний, где местные говоры влияли на оформление фамилий.

Сравните с однокоренными: Завьялов (самая распространенная), Завьялкин, Завьяльский. В отличие от них, Завьялава — почти уникальная вариация, которая может указывать на конкретную ветвь рода или ошибку писаря. Если у вас именно такое написание, вероятно, предки жили в местности, где аканье было сильным, и фамилию записывали «на слух» — например, в южнорусских областях или на Дону.

Что касается социального контекста: фамилии от прозвищ, а не от крестильных имён, чаще носили крестьяне и посадские люди. Дворянские роды обычно образовывались от имён или географических названий. Поэтому Завьялава (как и Завьялов) — фамилия, скорее всего, крестьянского или мещанского происхождения, без привязки к знатному роду.