Фамилия Завзятый — один из тех редких случаев, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, без типичных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Перед нами чистое прилагательное, которое закрепилось за человеком и стало его родовым именем. Такая модель образования встречается в основном у украинских, белорусских и южнорусских фамилий, где адъективная форма сохранилась напрямую: Завзятый, Несмелый, Весёлый.

Основа фамилии — прилагательное «завзятый», которое в русском и украинском языках означает «упорный», «настойчивый», «рьяный», иногда с оттенком «задиристый» или «азартный». В украинском языке слово «завзятий» имеет более широкий спектр: от «упрямый» до «отчаянный» и «неутомимый». Прозвище Завзятый могли дать человеку с сильным, неуступчивым характером, который не отступал перед трудностями, или, наоборот, тому, кто был известен своей горячностью и склонностью к спорам.

Интересно, что в русских говорах слово «завзятый» фиксируется с XIX века, но в письменных источниках фамилия встречается нечасто. Это не массовая дворянская или купеческая фамилия — скорее, она бытовала в крестьянской и казачьей среде, особенно на территориях современной Украины, в Белгородской, Воронежской и Ростовской областях. В казачьих реестрах прозвища такого типа ценились: они метко описывали человека, не требуя дополнительных пояснений.

С точки зрения словообразования, «завзятый» происходит от глагола «взять» с приставкой «за-», то есть буквально «взятый за что-то», «захваченный» делом или страстью. Со временем значение сместилось в сторону характеристики человека, который «весь в деле», не жалеет себя. Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Завзятый стоит особняком: нет массовых Завзятовых или Завзяткиных — это говорит о том, что фамилия не прошла через стандартную патронимическую обработку и сохранила исходную прозвищную форму.

Встречаются варианты написания с одной «з» (Заватый) — это диалектное или канцелярское искажение, но основная и исторически верная форма — Завзятый, с ударением на второй слог.