Фамилия Желага — редкая и неочевидная для бытового восприятия. Её корень не вписывается в распространённые модели русских фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров) или названий профессий (Кузнецов, Мельников). Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать слово не только по составу, но и по звучанию.

Скорее всего, в основе фамилии лежит прозвище или диалектное слово. Первое, что приходит на ум — связь с глаголом «жалеть» или «жалить». В северных и сибирских говорах слово «жалага» могло означать «жалость», «сожаление», а также «колючка», «репей» (от «жалить»). Человек с таким прозвищем мог быть либо очень сострадательным, либо, наоборот, колким, приставучим. Однако суффикс -аг- в русской антропонимии встречается редко и часто указывает на украинское или белорусское влияние: ср. «бродяга», «бедняга». Это даёт вторую версию — фамилия могла прийти с запада, где «жалага» (или «желага») — вариант слова «желега», «желвак», то есть «шишка», «нарост», «опухоль». В таком случае прозвище давали человеку с заметной физической особенностью.

Фамилия не имеет типичного русского суффикса принадлежности (-ов, -ев, -ин), что делает её «чистой» основой, застывшей в форме прозвища. Такие фамилии чаще встречаются в западнорусских и украинских землях, где процесс оформления фамилий шёл через прямой перенос прозвища без добавления патронимического суффикса. Сравните: Шевченко, Коваль, а в русском контексте — Желага.

В исторических документах фамилия почти не встречается. Это говорит о её локальном бытовании — возможно, в нескольких деревнях или слободах. Поиск по базам данных показывает единичные записи на территории современной Беларуси и в Смоленской области. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из западных губерний Российской империи.

Учитывая редкость фамилии, её носители, вероятно, происходят из одной небольшой родовой группы. Фамилия могла измениться со временем: не исключено, что первоначальная форма была «Желега» или «Жалега», а современное написание закрепилось из-за местного произношения или ошибки писаря при переписи.