Фамилия Жомайко звучит как нечто украинское или белорусское, и это верное направление. Её выдает характерный суффикс -ко, который в восточнославянских языках (прежде всего в украинском и белорусском) выполнял роль уменьшительно-ласкательного или патронимического показателя, то есть указывал на потомка или младшего родственника. В польском языке похожий суффикс -ka тоже встречается, но в фамилиях на -ко чаще всего видят именно украинскую или белорусскую основу.

Основа фамилии — Жомай. С ней сложнее: прямого и очевидного значения в современном русском или украинском языке нет. Здесь возможны два основных пути. Первый — связь с личным именем или прозвищем. В старой украинской и белорусской традиции бытовало имя Ждан (от «ждать»), а также редкие формы вроде Жома, которые могли быть производными от глагола «жати» (жать, сжимать) или «жомати» (диалектное — мять, давить). Человек с таким прозвищем мог быть крепким, сжимающим, либо заниматься ремеслом, связанным с давлением, например, отжимом масла или сыра.

Второй вариант — географический. В Беларуси есть несколько топонимов с корнем Жом-: например, деревня Жомойдь (историческое название Жемайтия, но в белорусском контексте — отдельный населенный пункт). Фамилия могла возникнуть как указание на выходца из такой местности. Суффикс -ай в основе (Жомай) нередко встречается в балтских или смешанных балто-славянских прозвищах, что добавляет версии с Жемайтией правдоподобия: предок мог быть «жомойтом», то есть жителем Жемайтии (низменной Литвы).

Версия с прозвищем по действию или ремеслу кажется более простой и распространенной для фамилий такого типа. Если предположить, что Жомай — это человек, который «жомкает» (мнет, давит), то это мог быть прозаический, но точный признак: либо крестьянин, занятый давлением льна или конопли, либо ремесленник-маслобойщик. В пользу этой версии говорит и отсутствие в фамилии дворянских или шляхетских суффиксов (вроде -ский), что указывает на крестьянское или мещанское происхождение.

Итак, Жомайко — это «маленький Жомай» или «потомок Жомая». Носитель фамилии, скорее всего, происходил из украинских или белорусских земель, а его предок получил прозвище либо по месту жительства (связанному с Жемайтией), либо по характерному действию или занятию, связанному с давлением, мятьем или отжимом.