Фамилия Жыгайло — редкий случай, когда написание сразу выдаёт региональное происхождение. Буква «ы» в корне после «ж» — это не ошибка и не опечатка, а прямое указание на белорусское или западнорусское (литвинское) произношение. В русском литературном языке после шипящих пишется «и», но в белорусской фонетике и старой письменности «ы» на этом месте — норма. Поэтому фамилию стоит искать не в великорусских губерниях, а на территории бывшего Великого княжества Литовского — современная Беларусь, восточная Литва, Смоленщина.

Основа фамилии — прозвище Жыгайло. В белорусских и польских говорах «жыгаць» означает «жечь», «обжигать», «прижигать». Человек мог получить такое прозвище за профессию: кузнец, стеклодув, смолокур, выжигальщик угля — любой, кто постоянно имел дело с огнём. Менее вероятно, но возможно, что прозвище относилось к человеку с «жгучим» характером — вспыльчивому, резкому.

Суффикс -айло (в белорусской передаче -айла) типичен для прозвищ, образованных от глаголов: кричать — кричайло, ловить — лавіла, бить — біла, жечь — жыгайла. Такая модель распространена именно в белорусской и польской антропонимии. В русской традиции подобные прозвища часто переоформлялись в фамилии на -ов: Жигалов, Жигайлов. Но Жыгайло сохранилось в исходной форме, без суффикса принадлежности, что указывает на позднюю фиксацию фамилии в среде, где ещё не перешли на «великорусский» стандарт.

Вторая, более спорная версия, связывает фамилию с литовским корнем žygis (поход, марш) или žygiuoti (выступать в поход). Сторонники этой гипотезы видят в Жыгайло потомка воина или походного человека. Однако литовские фамилии на -айло обычно имеют другую акцентировку, и для них характерно написание с буквой «i» (Žygaila). Версия с «жечь» выглядит надёжнее: она проще объясняет форму и хорошо вписывается в круг ремесленных прозвищ.

Встречается также вариант написания Жигайло — это русифицированная форма, появившаяся при записи в российских документах XIX века. Если ваши предки писались именно через «ы», это сильный маркер того, что они долго жили в среде, где сохранялся белорусский говор, возможно, в Минской, Витебской или Гродненской губернии.