Фамилия Зякун — редкий пример отфамильного имени, образованного не через привычные суффиксы -ов или -ин, а с помощью суффикса -ун. В русской ономастике этот суффикс часто указывал на носителя действия или характерного признака: болтун, ворчун, крикун. Соответственно, в основе фамилии лежит прозвище Зяка — человек, который зякает, то есть издаёт резкие, отрывистые звуки, возможно, зевает, вскрикивает или говорит невнятно, с запинкой. В говорах северо-западных областей (Псковщина, Новгородчина) «зякать» означало «зевать, кричать, издавать нечленораздельные звуки». Таким образом, первый носитель фамилии мог получить прозвище за манеру речи или поведения.

С географической точки зрения фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям. Суффикс -ун характерен для украинской и белорусской моделей образования фамилий (Стригун, Скакун, Крикун), но встречается и в русских прозвищах, особенно в пограничных регионах. В документах XVII–XVIII веков фамилия не зафиксирована — это указывает на её позднее оформление, скорее всего, в XIX веке, когда крестьянам массово присваивали фамилии по прозвищам.

Сословное происхождение, скорее всего, крестьянское или мещанское. Дворянских родов с такой фамилией не известно. В современной России Зякуны встречаются единично, в основном в Псковской области, а также в Белоруссии. Варианты написания — Зякун, Зякун — не меняют сути: корень тот же, ударение падает на последний слог. Если сравнивать с однокоренными фамилиями (Зякин, Зяков, Зяблов), то Зякун стоит особняком благодаря редкому суффиксу, который сразу выдаёт прозвищное, а не патронимическое происхождение.