Фамилия Абаджиев — один из тех случаев, когда фамилия прямо говорит о занятии предка, но в современном русском ухе это слышится не сразу. Её основа — тюркское слово «абаджи» (или «абаджия»), которое в Османской империи и у балканских народов означало мастера по изготовлению грубой шерстяной ткани или верхней одежды из неё — так называемого «аба». Это ремесло было распространено в Болгарии, Сербии, Македонии и в европейской части Турции. Корень «аб-» здесь восходит к арабскому «аба» (грубое сукно, плащ), а суффикс «-джи» — типичный тюркский показатель профессии (сравните с русскими фамилиями на -щик, но с другим оттенком). Таким образом, Абаджиев — это «сын абаджи», то есть потомок суконщика или портного, шившего из домотканого сукна.

Словообразовательная модель фамилии — усечённая тюркская основа плюс славянский суффикс принадлежности -ев. Это характерно для фамилий, которые формировались на Балканах под османским влиянием: сначала прозвище Абаджи (по профессии), затем, при переходе в славянскую среду, к нему добавили патронимический суффикс. В русском контексте фамилия Абаджиев встречается редко и почти всегда указывает на болгарские или гагаузские корни носителя. В самой Болгарии фамилия Абаджиев (и её женская форма Абаджиева) входит в число распространённых, особенно в регионах, где исторически было развито овцеводство и сукноделие — например, в окрестностях Габрово и Трявны.

Интересная деталь: в отличие от русских «ремесленных» фамилий (Кузнецов, Плотников), которые обозначали мастера вообще, тюркская модель с суффиксом -джи/-чи часто подразумевала не просто ремесленника, а владельца мастерской или человека, который знает секреты производства. Абаджи мог быть не рядовым портным, а уважаемым цеховиком, поставлявшим армейское сукно или шившим абы для целых деревень. В дореволюционных документах Российской империи эта фамилия могла записываться через «ъ» (Абаджіевъ) или искажаться до Абажиев — из-за трудности передачи тюркского аффриката «дж» на слух.

Если ваш предок носил фамилию Абаджиев, то почти наверняка он был выходцем из болгарских или гагаузских переселенческих общин XIX века, которые селились в Бессарабии, Приазовье или на Кубани. Род занятий угадывается точно: ткачество и пошив из грубой шерсти.