Фамилия Абаполовы образована от прозвища Абапол, а само прозвище, скорее всего, связано с диалектным словом «абапол» (или «обопол»). В рязанских, калужских, тамбовских и владимирских говорах у этого слова было два основных значения. Первое — «близко, рядом, в округе, по соседству», а также «околица, окружность». В этом случае прозвище Абапол могли дать соседу, который жил неподалёку, или человеку, который всегда был «под боком». Второе значение — «попусту, напрасно, даром, без пользы». Если прозвище пошло от этого смысла, то Абаполом могли назвать либо болтливого человека (который мелет языком попусту), либо, наоборот, щедрого и бескорыстного — того, кто раздавал добро задаром.

Обратите внимание на суффикс -ов: это стандартная модель русских фамилий, указывающая на принадлежность («чей?» — Абаполов, то есть сын Абапола). Сама основа «абапол» — редкая, она не встречается в большинстве современных словарей и живёт лишь в диалектной памяти. Это сразу отличает фамилию от более частых, образованных от крестильных имён или названий профессий.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России — тем самым, где фиксировалось слово «абапол»: Рязанщина, Калужская, Тамбовская, Владимирская земля. Если ваши предки оттуда, версия с диалектным прозвищем становится почти бесспорной.

В ономастических трудах (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) эта фамилия не разбирается отдельно, но её модель и основа полностью соответствуют описанным ими случаям образования фамилий от диалектных прозвищ. Альтернативные версии — например, связь с тюркскими корнями — маловероятны, так как слово «абапол» имеет чёткую славянскую этимологию и привязку к конкретным говорам.

Итог: фамилия Абаполовы — не частый случай, когда прозвище сохранило в себе забытое диалектное слово с двумя разными смыслами. Без генеалогического исследования не понять, какое из значений дало начало конкретной ветви, но ясно одно: предки носителей этой фамилии жили в центральной России и получили своё родовое имя от характерного местного словечка.