Фамилия Абажанов — редкая, и её разумнее начинать разбирать не с корня, а с модели образования. Типичный патронимический суффикс -ов подсказывает: Абажанов — это сын Абажана. Вопрос упирается в происхождение самого имени Абажан, и здесь есть две версии, обе со своей логикой.

Первая — тюркская. В татарском, башкирском и ряде других тюркских языков слово «аба» или «абай» означает «старший родственник», «дед», «предок», а также может обозначать медведя как тотемное или уважительное прозвище. Вторая часть, «жан» (душа), — распространённый компонент в восточных именах (Ахметжан, Рахимжан). Складывается составное имя вроде «душа предка» или «уважаемый, как дед». Фамилии на -ов от таких имён — обычное явление для тюркских народов, попавших в орбиту русского делопроизводства.

Вторая версия — адаптация арабского имени Аббас (суровый, хмурый). В диалектной речи при добавлении уменьшительно-ласкательного суффикса -жан форма Аббасжан могла стянуться в Абажан. Переход «с» в «ж» в разговорной речи встречается нередко, так что гипотеза вполне рабочая.

География фамилии её подтверждает: Абажановы встречаются в Поволжье (Татарстан, Башкортостан), а также в Казахстане и Средней Азии. Сословного барьера у фамилии не было — её мог получить и крестьянин, и купец, и служилый татарин, если отца звали Абажаном. В дореволюционных метрических книгах единичные записи попадаются среди казанских татар и башкир-вотчинников.

Итог простой: Абажанов — «сын Абажана», где Абажан, скорее всего, тюркское составное имя со значением «душа предка» или «уважаемый старец». Фамилия редкая, но прозрачная по структуре, если знать восточную антропонимику.