Фамилия Абешева — женская форма фамилии Абешев, то есть её носительница — дочь или жена мужчины по фамилии Абешев. Разбирать происхождение логичнее с мужской основы — личного имени или прозвища Абеш. Скорее всего, это тюркское имя, образованное от корня «аб» (охота, ловля) с уменьшительно-ласкательным суффиксом «-еш». Получается «охотничек», «ловец» — такое имя давали мальчикам с пожеланием быть добытчиком и кормильцем. В тюркских языках имена, связанные с охотой и промыслом, действительно были распространены, что подтверждается ономастическими исследованиями.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с арабским именем Аббас (хмурый, суровый) через диалектное произношение, где «с» перешло в «ш». Однако это скорее исключение: тюркская основа «аб» встречается чаще, а суффикс «-еш» типичен именно для тюркских уменьшительных форм.

Суффикс «-ев» в мужской фамилии Абешев указывает на принадлежность («чей?») — сын или потомок Абеша. Такая модель образования — стандартная для русских фамилий, но здесь она наложилась на нерусскую основу, что характерно для регионов с тюркским населением. Географически фамилия тяготеет к Татарстану, Башкортостану, северному Кавказу, а также к казачьим областям, где веками смешивались русские и тюркские фамилии. В дореволюционных метрических книгах Абешевы встречаются среди крестьян и мещан — никакого дворянства или купечества за ними не числится.

Особенность фамилии — её редкость. Она не входит в списки массовых русских фамилий, что говорит о локальном происхождении от одного или нескольких родов. Встречается также вариант написания «Абишева» — с «и» вместо «е», что отражает особенности произношения в разных диалектах. Если вы ищете корни, стоит проверить оба варианта в архивных записях: в метрических книгах XIX века одно и то же семейство могли записать по-разному.