Фамилия Адажий — редкая и необычная для русского слуха, и её происхождение почти наверняка связано не со славянской, а с итальянской или общеевропейской музыкальной традицией. В основе лежит слово «адажио» (итал. adagio) — музыкальный термин, обозначающий медленный темп. Однако напрямую фамилию от итальянского наречия образовать было бы странно: в русской среде такое прозвище мог получить человек, связанный с музыкой — например, музыкант, исполнявший медленные партии, или учитель пения, отличавшийся неторопливостью. Вторая, более прозаичная версия, отсылает к диалектному или искажённому слову. В южнорусских говорах бытовало слово «адаж» или «одаж» — так называли ленивого, медлительного человека, «копушу». В этом случае фамилия могла закрепиться как прозвище по характеру.

Форма фамилии — Адажий — указывает на типичную модель русских фамилий на -ий, которые часто образовывались от прилагательных (ср. Блаженный, Косой). В данном случае это субстантивированное прилагательное: «Адажий» — тот, кто обладает свойством, названным основой. Окончание -ий не является здесь суффиксом принадлежности (-ов/-ев, -ин), а скорее оформляет фамилию как русское прилагательное в мужском роде. Такие фамилии встречаются реже, чем патронимические, и часто имеют книжное или семинарское происхождение, либо закрепляются за выходцами из духовного сословия. Однако для Адажий музыкальная версия выглядит убедительнее: в среде церковных регентов и учителей пения могли давать прозвища по нотам и темпам.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных и телефонных справочниках она практически не фиксируется, что говорит либо о её угасании, либо о позднем и единичном возникновении. Сравните с однокоренными, но более частыми фамилиями Адажио (встречается у потомков итальянских музыкантов, осевших в России) или Адажев (образована через суффикс -ев, что типично для русификации иноязычных основ). Адажий стоит особняком — это не патроним, а прямое прозвище, которое могло не пережить нескольких поколений, если род был малочисленным.

Таким образом, носитель фамилии Адажий, скорее всего, ведёт происхождение от человека, получившего прозвище за медлительность (в бытовом смысле) или за причастность к музыке. Точных исторических документов, подтверждающих ту или иную версию, пока не обнаружено, но лингвистический анализ склоняет к первому, «характерологическому» объяснению.