Фамилия Агейчикова — женская форма, а её основа, мужская фамилия Агейчиков, образована по редкой и не самой очевидной модели. В отличие от типичных русских фамилий на -ов/-ев (Петров, Соколов) или -ин (Пушкин), здесь мы видим суффикс -иков. Это уменьшительная или патронимическая форма, характерная скорее для восточнославянских регионов, особенно для Беларуси и юга России. Суффикс -ик в прозвищах и именах указывал на «малого» или «сына»: например, Агейчик — это «маленький Агей» или «сын Агея».

В основе фамилии лежит имя Агей. Это разговорная, народная форма канонического крестильного имени Аггей, которое пришло из древнееврейского через греческий. Аггей (Хаггай) переводится как «праздничный», «торжественный» или, по другой версии, «рождённый в праздник». В святцах имя встречается, но популярным на Руси не было — отсюда и редкость производных фамилий. Если бы имя было распространённым, мы бы чаще встречали фамилии вроде Агеев или Агейкин, но суффикс -иков добавляет ещё один слой родства.

Словообразовательная цепочка выглядит так: Агей → Агейчик («сын или потомок Агея») → Агейчиков («чей? — сын Агейчика»). То есть фамилия фиксирует не прямое родство с человеком по имени Агей, а родство с его сыном или внуком, который уже носил прозвище Агейчик. Такая трёхступенчатая модель (имя → уменьшительное → притяжательное прилагательное) встречается нечасто. Она говорит о том, что фамилия оформилась поздно, возможно, в XVIII–XIX веках, когда в официальных документах закрепили «чей ты будешь»: «Агейчиков» — значит из семьи Агейчиков. Это не просто отчество, а указание на целый род, ведущий начало от конкретного человека.

Географически фамилия тяготеет к западным и южным губерниям Российской империи. В дореволюционных записях Агейчиковы встречаются в Могилёвской, Витебской, а также в Курской и Воронежской губерниях. Это совпадает с ареалом бытования имени Агей — в центральной России его почти не знали, а в белорусских и малороссийских землях оно держалось дольше. Если ваши предки оттуда, фамилия могла сохранить местный говор: в тех краях имя Агей произносили с мягким «г» или с придыханием, что иногда отражалось в письме как «Агейчик» или «Огейчик».

По сословию носители фамилии были преимущественно крестьянами или мещанами. Дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» или «Общем гербовнике» нет — это фамилия простых людей, без гербов и титулов. В речи фамилия могла произноситься с ударением на второй слог (Аге́йчикова) или на третий (Агейчи́кова) — в зависимости от местного говора, но литературная норма склоняется к ударению на второй слог, по аналогии с основой «Агей».