Фамилия Агейчинко — украинская по происхождению, и её смысл напрямую связан с именем родоначальника. В основе лежит имя Агейка, ласковая форма церковного имени Агей. Само имя Агей древнееврейского корня и означает «торжественный», «праздничный» или «веселящийся». Так что, если говорить просто, Агейчинко — это «потомок Агейки».

Обычно такие фамилии в украинской традиции образовывали с помощью суффикса -енко, что значит «маленький» или «сын». Вероятнее всего, изначально фамилия выглядела как Агейченко — от Агейка плюс -енко. Однако со временем, под влиянием живого произношения или местных говоров, гласный «е» в суффиксе заменился на «и». Так и появился современный вариант Агейчинко. Эта замена — не ошибка, а естественное фонетическое изменение, которое закрепилось в фамилии.

Интересно, что в русской традиции подобные имена и фамилии часто заканчивались бы на -ов (Агейков), но украинский суффикс -енко (и его производные) чётко указывает на южное, малороссийское происхождение рода. Таким образом, фамилия Агейчинко — это не только указание на имя предка, но и маркер определённой региональной и языковой среды.