Фамилия Агейченков образована от имени Агей, которое является разговорной формой канонического имени Аггей. В основе имени лежит древнееврейское слово со значением «торжественный, праздничный». Строение фамилии необычно: она сочетает два суффикса, указывающих на происхождение. Украинский патронимический суффикс -енко (указывает на «сына» или «потомка») и русский -ов, который в русской традиции добавился при адаптации фамилии. Такая двойная суффиксация — верный признак того, что фамилия возникла на украинской почве, а затем была русифицирована: Агейченко → Агейченков. Иными словами, предок носителя фамилии был сыном человека по имени Агей (Аггей), а его потомки, перейдя в русскую языковую среду, оформили фамилию по общерусской модели на -ов.

В написании фамилии встречается вариант Агейчиков — он мог возникнуть из-за акающего произношения или путаницы суффиксов. Но исходная форма, Агейченков, точнее передаёт украинскую основу: в ней отчётливо видна связка -енк-.

Имя Аггей (Агей) в старину было нередким, хотя и не самым частым. В святцах оно связано с одним из двенадцати малых библейских пророков, поэтому носители имени могли получить его по церковному календарю. Географически фамилия Агейченков тяготеет к южнорусским и украинским регионам, откуда впоследствии распространилась шире.