Фамилия Агошаков — редкий случай, когда исходное имя почти стерлось, оставив лишь суффиксальный след. В основе лежит прозвище Агошак, которое восходит к личному имени Аггей (от древнегреческого «торжественный, священный»). В народной речи имя сокращалось и переделывалось: Аггей — Агей — Агоша. Форма Агошак с суффиксом -ак характерна для южнорусских и украинских говоров, где такой суффикс придавал именам уменьшительный или фамильярный оттенок. Получается, Агошак — это «маленький Аггей» на местный лад. Фамилия образовалась по стандартной модели: Агошак + -ов, то есть «сын Агошака».

Суффикс -ак в русских фамилиях встречается реже, чем -ов или -ин, и часто указывает на западные или южные регионы — территории современной Украины, Белгородскую, Воронежскую, Ростовскую области. Если фамилия Агошаков бытует в этих краях, это подтверждает её диалектное происхождение. В центральных и северных областях России от того же имени Аггей образовывали фамилии Агеев, Агаев или Агошин — с суффиксами -ев и -ин. Агошаков стоит особняком: он звучит более по-крестьянски, чем книжный Аггеев.

Спорных версий по фамилии немного. Иногда её ошибочно связывают с тюркским словом «ага» (господин, старший), но это маловероятно: суффикс -ак в русских фамилиях редко бывает тюркским, а форма Агошак явно вторична от имени. Ещё одна гипотеза — отчество от редкого календарного имени Аггоний, но оно не встречается в святцах и не имеет бытовой поддержки. Самая правдоподобная линия — через Аггея и его народные варианты.

Сословно фамилия Агошаков, скорее всего, принадлежала крестьянам или однодворцам. Дворянских родов с такой фамилией в Российской империи не зафиксировано. Встречается она нечасто, и это делает её ценной для семейной истории: каждый носитель может с большой вероятностью проследить свои корни до конкретной местности, где имя Аггей переделали на свой лад.