Фамилия Агурбаш — сложная и неочевидная по происхождению. В её основе лежит составное прозвище, которое, скорее всего, сложилось из двух тюркских корней. Вторая часть сомнений почти не вызывает: «баш» в тюркских языках означает «голова» или, в переносном смысле, «начальник», «старшина». Этот компонент часто встречается в составных именах и прозвищах, указывая на главенство, положение или просто на крупную, заметную часть тела (например, «большеголовый»).

С первой частью — «агур» — сложнее. Здесь сходятся сразу несколько версий, и ни одна из них не является бесспорной. Самая прямая тюркская гипотеза возводит «агур» к слову «агуру» со значением «свирепый, дикий». В этом случае прозвище Агурбаш могло означать «дикий вожак» или «свирепая голова» — характеристика, данная человеку с крутым нравом. Другая тюркская версия видит здесь имя Агыр, которое переводится как «ценный, дорогой». Тогда смысл сдвигается: «ценная голова» — возможно, прозвище уважаемого, мудрого или богатого человека, главы рода.

Есть и третья, менее вероятная с точки зрения географии фамилии, гипотеза. Она выводит «агур» из древнего семитского имени Агур, означающего «собиратель». В этом случае вся конструкция «Агурбаш» могла бы значить «собиратель голов» или «главный собиратель», но такое толкование — скорее умозрительная реконструкция, чем подтверждённый факт.

Фамилия Агурбаш — редкая, и её география бытования узка. Наиболее известный носитель — белорусская певица и актриса Анжелика Агурбаш, долгое время выступавшая и на российской эстраде. Это пример того, как фамилия, возникшая как прозвище с «начальническим» оттенком, стала сценическим именем. В остальном фамилия остаётся малоизученной, и её ранняя история — с XV–XVI веков, когда на Руси начали закрепляться наследственные именования, — пока не прояснена документально.