Фамилия Агышева — женская форма, мужской вариант — Агышев. Чтобы понять её происхождение, сразу обратим внимание на суффикс. Модель образования типична для русских фамилий тюркского происхождения: к основе на согласный добавляется суффикс -ев (после шипящего «ш» он дал форму «-шев»). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Агы́шева, хотя в диалектах возможны варианты.

В основе лежит тюркское личное имя или прозвище. Корень восходит к древнетюркскому слову «агыш» (или «ағыш») — «поток», «течение», «русло реки». В переносном смысле так могли назвать человека быстрого, стремительного или того, кто жил у воды, на речном берегу. В некоторых тюркских диалектах «агыш» означало также «переход» или «переправа», что указывает на возможное занятие предка — перевозчика или владельца парома.

С географией всё конкретно. Фамилия Агышев встречается преимущественно в Поволжье и на Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. Это регионы, где веками соседствовали тюркские и славянские языки, и русские фамилии вбирали в себя местные прозвища. Среди татар и башкир встречается фамилия Агышев (Агышов), что подтверждает её исконно тюркские корни.

Есть и менее вероятная версия: связь с арабским именем Агиш (от «ага» — «господин»), заимствованным через исламскую традицию. Но в русских документах XVII–XVIII веков следов такого имени почти нет, тогда как прозвищная модель «по месту жительства или занятию» для фамилий из тюркского слоя гораздо типичнее.

Так что носительницы фамилии Агышева могут считать своими предками либо людей, живших у реки или занимавшихся переправой, либо получивших прозвище за быстроту и напористость — корень в любом случае уводит в тюркскую языковую среду.