Фамилия Ахримец звучит редко и сразу цепляет внимание необычным сочетанием звуков. Если отбросить суффикс, который ясно указывает на происхождение, в основе лежит имя или прозвище Ахрим. Это один из вариантов крестильного имени Ефрем (др.-евр. «плодовитый»), который в народной речи превращался в десятки форм: Охрим, Ахрим, Юхрим. Так что первый и самый вероятный ответ: Ахримец — это «сын Ахрима», то есть потомок человека, которого в быту звали не Ефремом, а просторечным Ахримом.

Интереснее здесь суффикс -ец. В русских фамилиях он встречается реже, чем -ов или -ин, но выполняет чёткую роль. В украинской и белорусской традиции (а фамилия явно оттуда) суффикс -ец часто означал «маленький» или «младший»: например, Иванец — малый Иван, сын Ивана. Ахримец, соответственно, могло быть прозвищем младшего в семье Ахримов или же уменьшительной формой самого имени. В польской ономастике такой суффикс нередко добавляли к прозвищам, обозначая человека по характерному признаку.

Географически фамилия тяготеет к западным областям — к Беларуси и западу Украины. Встречается она и в России, но редко, и почти всегда её носители имеют корни с тех территорий. В переписях XIX века Ахримцы могли значиться как крестьяне или мещане — сословной привязки у этой модели нет, она бытовала во всех слоях, где имя Ефрем было распространено.

Сложность в том, что у фамилии есть фонетический двойник: Ахременко (с тем же корнем, но украинским суффиксом -енко) и Ахремов (русская модель на -ов). Ахримец стоит особняком именно из-за редкого суффикса, который сразу выдает западнорусское или белорусское происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из мест, где говорили на «акающем» диалекте и любили ласкательные формы имён.