Фамилия Аксиньев на слух кажется прямой отсылкой к женскому имени Аксинья, но в русской ономастике такое образование — редкость. Обычно от женских имён фамилии образовывались с суффиксом -ин (Аксиньин, Ксеньин), а не -ев. Поэтому куда правдоподобнее версия, что перед нами «испорченное» отчество от имени Аксен (каноническая форма Авксентий). В народном произношении «Аксен» легко переходило в «Аксин», а оттуда — один шаг до фамилии Аксиньев. Так что ваш предок, скорее всего, был сыном человека по имени Аксен или Аксин, а не женщины Аксиньи.

Полностью исключать женскую основу, впрочем, нельзя. В некоторых говорах имя Аксинья (просторечная форма Ксении) звучало как Оксинья, и фамилия могла закрепиться за внебрачным сыном, которого записывали по матери. Но это более редкий и менее вероятный сценарий.

Географически фамилия привязана к южнорусским и украинским землям. В документах XVII–XVIII веков фамилии с корнем «Аксен» встречаются в среде однодворцев и казаков — например, в Курской, Воронежской губерниях, на Слобожанщине. Там имя Аксен было распространено, и фамилии на -ев образовывались особенно активно, в том числе с редукцией гласных: Аксен → Аксин → Аксиньев. Это типичная крестьянская или однодворческая фамилия, и её отсутствие в родословных книгах до XIX века это подтверждает.

Есть ещё одна деталь, которая выделяет Аксиньева из ряда похожих фамилий. Суффикс -ев здесь мог появиться не только из-за мягкой основы (Аксинь-), но и из-за церковнославянской нормы. В святцах имя Авксентий писалось через «кси», и в бытовом произношении «кс» часто переходило в «сь» — так Аксентьев мог превратиться в Аксиньева. Это не ошибка писаря, а живой процесс адаптации книжного имени к устной речи. Таким образом, носитель фамилии Аксиньев с высокой вероятностью происходит от человека, которого в миру звали Аксеном (Авксентием), и его родня жила в чернозёмной полосе России.