Фамилия Алексеичук — образец украинской модели образования на -чук, где суффикс несёт не просто отчество, а конкретный оттенок: «маленький», «младший», «сын». В отличие от русских фамилий на -ов/-ев (Алексеев), которые механически указывают на принадлежность, украинский -чук подчёркивает молодость или зависимое положение носителя. В польском языке, влиявшем на западные регионы Украины, аналогичный суффикс -czuk давал ту же смысловую нагрузку.

Основа фамилии — каноническое имя Алексей, пришедшее на Русь из Византии. Греческое Алексиос (Αλέξιος) означало «защитник», «оберегающий». Имя было популярно среди православных, но в украинской народной среде оно чаще принимало бытовые формы — Олекса, Лесь, Алекса. Алексеичук пошёл от полной формы имени, что встречается реже, чем производные от уменьшительных вариантов (например, Алексеенко или Лещенко). Это может указывать на то, что предок был человеком уважаемым или грамотным — фамилию давали не от прозвища, а от официального крестильного имени.

Географически фамилия тяготеет к западным областям Украины — Волыни, Подолью, Галичине. Суффикс -чук особенно характерен для этих земель, тогда как на востоке Украины преобладает -енко. Встречаются варианты написания: Алексайчук, Алексеюк, но форма с «и» (Алексеичук) — самая точная с точки зрения словообразования. В России фамилия не получила широкого распространения, в отличие от Алексеева или Алексеенко: это редкий случай, когда украинская фамилия сохранила и корень, и суффикс, не прижившийся в русском языке.

Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходили из крестьянской или казацкой среды Западной Украины, где фамилии на -чук фиксировались уже в XVII–XVIII веках.